Théorème de comparaison : $$\left({ {{f\leqslant g}}\land{{\displaystyle{\lim_{x\to x_0} } f(x)=+\infty}} }\right)\implies{{\displaystyle{\lim_{x\to x_0} } g(x)=+\infty}}$$
Théorème de comparaison : $$\left({ {{f\geqslant g}}\land{{\displaystyle{\lim_{x\to x_0} } f(x)=-\infty}} }\right)\implies{{\displaystyle{\lim_{x\to x_0} } g(x)=-\infty}}$$
(Limite en l’infini)
Théorème de comparaison :
Soient \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) deux séries à termes positifs ou nuls
On suppose qu'il existe \(k_0\geqslant0\) tq, \(\forall k\geqslant k_0,u_k\leqslant v_k\)
Alors... $$\begin{align} {{\sum v_k\text{ converge } }}&\implies{{\sum u_k\text{ converge} }} \end{align}$$
Théorème des comparaisons :
Soient \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) deux séries à termes positifs ou nuls
On suppose qu'il existe \(k_0\geqslant0\) tq, \(\forall k\geqslant k_0,u_k\leqslant v_k\)
Alors... $$\begin{align} {{\sum u_k\text{ diverge } }}&\implies{{\sum u_k\text{ diverge} }} \end{align}$$
Théorème de comparaison :
Si \(f,g\) sont des fonctions positives et continues sur \([a,+\infty[\) et si \(\exists A\geqslant a,\forall t\gt A,\quad f(t)\leqslant g(t)\), alors : $${{\int^{+\infty}_ag(t)\,dt\;\text{ converge } }}\implies{{\int^{+\infty}_af(t)\,dt\;\text{ converge } }}$$
Théorème de comparaison :
Si \(f,g\) sont des fonctions positives et continues sur \([a,+\infty[\) et si \(\exists A\geqslant a,\forall t\gt A,\quad f(t)\leqslant g(t)\), alors : $${{\int^{+\infty}_af(t)\,dt\;\text{ diverge } }}\implies{{\int^{+\infty}_ag(t)\,dt\;\text{ diverge } }}$$